編輯導(dǎo)語：有效的用戶體驗(yàn)感調(diào)研有利于提升產(chǎn)品架構(gòu)，更好的去完善產(chǎn)品。但是當(dāng)市場樣本量過少，如何科學(xué)衡量喜好程度？本文將分享一個(gè)數(shù)據(jù)分析的常見case——威爾遜得分。相信通過本文，可以學(xué)到一個(gè)更加科學(xué)的分析方法，一起來學(xué)習(xí)下吧。

“分享一個(gè)常見的場景，也是經(jīng)常困擾大家的問題。”

先來一個(gè)場景：假設(shè)平臺(tái)售賣兩款手機(jī)A和B。A手機(jī)有800人喜歡，200人不喜歡；B手機(jī)有9人喜歡，2人不喜歡。那么，用戶更喜歡哪款手機(jī)？

相信這個(gè)場景，各位朋友在日常生活中、在工作中都遇到過。你們平時(shí)是如何做判斷呢？希望通過今天的文章，能給大家一個(gè)新的視角、也更加科學(xué)的方案。

一、常見的衡量方法

我想，大家的第一反應(yīng)應(yīng)該是按照比率進(jìn)行衡量吧？因此，

A手機(jī)喜好率=800÷（800+200）=80%

B手機(jī)喜好率=9÷（9+2）=82%80%<82%

因此用戶更喜歡B手機(jī)。

這樣對嗎？

看起來沒毛病。畢竟喜歡率越高，代表用戶更喜歡嘛！但是，相信朋友也看出了這個(gè)例子的端倪：B手機(jī)的總共的樣本量才11個(gè)，雖然喜歡率高，但是樣本量這么低，隨便一個(gè)數(shù)據(jù)變化都會(huì)對結(jié)果產(chǎn)生巨大的影響。

因此，按照這種比率的方法，算出的喜歡率，“靠譜”嗎？用統(tǒng)計(jì)學(xué)的語言，置信嗎？

二、威爾遜得分

上面我們覺得按照簡單的喜歡率來計(jì)算，有點(diǎn)難衡量。但是，如果不按照喜歡率來比較，還能如何計(jì)算呢？這就是我們今天的主題了：威爾遜得分。

1. 公式定義

先看看具體的威爾遜得分計(jì)算公式：

u表示正例數(shù)（喜歡），v表示負(fù)例數(shù)（不喜歡），n表示實(shí)例總數(shù)（總樣本數(shù)），p表示喜歡率，z是正態(tài)分布的分位數(shù)（參數(shù)），S表示最終的威爾遜得分。得分越高，代表越喜歡的程度、喜歡的概率越大。

通常，當(dāng)置信度95%的情況下，z取1.96（近似2）即可。其他常見置信水平與z取值的對應(yīng)關(guān)系如下：

關(guān)于置信區(qū)間的概念，可以參考文章《區(qū)間估計(jì)的置信區(qū)間概念及方法》。

2. 案例驗(yàn)證

下面，我們根據(jù)上面的公式，計(jì)算一下我們開頭案例的A手機(jī)和B手機(jī)的威爾遜得分情況。

對于A手機(jī)，n=1000，p=0.8，按照95%的置信度，取z≈2，代入威爾遜得分公式中，求得S(A)=0.77

對于B手機(jī)，n=11，p=0.82，按照95%的置信度，取z≈2，代入威爾遜得分公式中，求得S(B)=0.52

因此，0.77>0.52，A手機(jī)的威爾遜得分高于B手機(jī)，按照該算法，我們有結(jié)論：在置信度95%的情況下，雖然A手機(jī)的喜歡率不如B手機(jī)，但是有理由相信用戶對A手機(jī)其實(shí)是更加喜歡的。

3. 相關(guān)應(yīng)用

其實(shí)該得分算法的應(yīng)用還是比較多的。

除了上文中提出的例子外，該得分算法經(jīng)常應(yīng)用于各個(gè)網(wǎng)站的排序上。比如知乎的搜索排序（我看網(wǎng)上有說知乎是用的威爾遜得分進(jìn)行的。這里我也沒法驗(yàn)證，如果有知乎的朋友可以留言驗(yàn)證一下。關(guān)于搜索算法可以參考文章《搜索系統(tǒng)的基礎(chǔ)知識(shí)以及應(yīng)用》）：

可以看出，知乎的搜索結(jié)果排序中，并不是完全基于贊同數(shù)量進(jìn)行的倒敘排列。如果完全贊同數(shù)多的回答置頂，那么新的高質(zhì)量回答，就永遠(yuǎn)沒有出頭之日了，對于內(nèi)容生態(tài)的維護(hù)一定是有很大問題的。

當(dāng)然，哪怕是用了威爾遜得分，真實(shí)實(shí)踐中，也會(huì)在這個(gè)基礎(chǔ)上增加更多維度的打分，咱們這里就是以此舉例，說明威爾遜得分的應(yīng)用場景，大家清楚就好。

如果只是想把威爾遜得分作為工具，那么掌握到這里、知道了公式該如何使用、如何計(jì)算、應(yīng)用場景是啥，就足夠了。但如果想深入理解一下公式的統(tǒng)計(jì)學(xué)含義以及推導(dǎo)邏輯，可以參考下面一節(jié)。

三、統(tǒng)計(jì)原理與邏輯

下面，我們一起看看這個(gè)威爾遜公式是怎么得到的，以及背后的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理是啥。

1. 原理概述

首先，威爾遜得分只是威爾遜區(qū)間的一個(gè)變形，取了威爾遜區(qū)間的下限值作為威爾遜得分。

那什么是威爾遜區(qū)間呢？

本質(zhì)上，威爾遜區(qū)間其實(shí)就是用戶喜歡率的一個(gè)區(qū)間估計(jì)（關(guān)于區(qū)間估計(jì)可參考?xì)v史文章《區(qū)間估計(jì)的基礎(chǔ)介紹》）。但是該區(qū)間估計(jì)考慮了樣本過小時(shí)候的情況，根據(jù)樣本量對區(qū)間估計(jì)進(jìn)行了修正，使得該區(qū)間估計(jì)能夠較好的衡量不同樣本量情況。

說白了，我們用樣本計(jì)算的用戶喜歡率，本質(zhì)上只是對用戶真正的喜歡率的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)而已，樣本越少，可信度越低；樣本數(shù)越多，根據(jù)中心極限定理，點(diǎn)估計(jì)越接近真實(shí)值。如果樣本數(shù)都很多，那么我們直接計(jì)算手機(jī)A和B的喜歡率，基本就能代表真實(shí)情況了，是可以比較的。但是當(dāng)樣本數(shù)不夠，就面臨了上文中的問題。威爾遜，就是1920年代提出了這個(gè)區(qū)間估計(jì)的公式，用以解決小樣本的準(zhǔn)確性問題。

由于提出的公式是區(qū)間估計(jì)公式，所以本來是一個(gè)一個(gè)的區(qū)間。比如假設(shè)A手機(jī)的喜歡率95%置信區(qū)間估計(jì)是[0.77,0.83]，B手機(jī)喜歡率95%的置信區(qū)間估計(jì)是[0.52,1]。如何對比兩個(gè)區(qū)間呢？威爾遜得分就是取了不同區(qū)間的下限進(jìn)行比較，因此哪個(gè)下限高，代表概率更高。

2. 公式推導(dǎo)

這里的公式推導(dǎo)其實(shí)還是有點(diǎn)復(fù)雜的，我不一一展開了，放一下網(wǎng)上的推導(dǎo)步驟截圖，有興趣的朋友可以自行探索一下??！

3. 性質(zhì)特性

最后我們看看這個(gè)公式的一些性質(zhì)吧。

• 性質(zhì)1：得分S的范圍是[0,1)，效果：已經(jīng)歸一化，適合排序
• 性質(zhì)2：當(dāng)正例數(shù)u為0時(shí)，p為0，得分S為0；效果：沒有好評(píng)，分?jǐn)?shù)最低；
• 性質(zhì)3：當(dāng)負(fù)例數(shù)v為0時(shí)，p為1，退化為1/(1 + z^2 / n)，得分S永遠(yuǎn)小于1；效果：分?jǐn)?shù)具有永久可比性；
• 性質(zhì)4：當(dāng)p不變時(shí)，n越大，分子減少速度小于分母減少速度，得分S越多，反之亦然；效果：好評(píng)率p相同，實(shí)例總數(shù)n越多，得分S越多；
• 性質(zhì)5：當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，退化為p，得分S由p決定；效果：當(dāng)評(píng)論總數(shù)n越多時(shí)，好評(píng)率p帶給得分S的提升越明顯；
• 性質(zhì)6：當(dāng)分位數(shù)z越大時(shí)，總數(shù)n越重要，好評(píng)率p越不重要，反之亦然；效果：z越大，評(píng)論總數(shù)n越重要，區(qū)分度低；z越小，好評(píng)率p越重要；

4. 變形擴(kuò)展

另外，我們這里都是二項(xiàng)分布。如果是評(píng)分等級(jí)問題：如五星評(píng)價(jià)體系，或者百分評(píng)價(jià)體系，該怎么辦呢？

將威爾遜得分的公式由伯努利分布修改為正態(tài)分布，帶入相關(guān)參數(shù)即可。

注意：均值和方差均是歸一化之后的數(shù)值。

關(guān)于威爾遜得分，我們就分享這些，希望對大家今后的數(shù)據(jù)工作能有所幫助。以后再衡量哪個(gè)更好，可以有更專業(yè)的算法模型了！

#專欄作家#

NK冬至，公眾號(hào)：首席數(shù)據(jù)科學(xué)家，人人都是產(chǎn)品經(jīng)理專欄作家。在金融領(lǐng)域、電商領(lǐng)域有豐富數(shù)據(jù)及產(chǎn)品經(jīng)驗(yàn)。擅長數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)產(chǎn)品等相關(guān)內(nèi)容。

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