編輯導(dǎo)語(yǔ)：“隨機(jī)變量”是我們經(jīng)常會(huì)聽(tīng)到的一個(gè)詞，但它具體是什么，它有什么樣的特點(diǎn)？這篇文章為我們仔細(xì)講解了“隨機(jī)變量”的相關(guān)知識(shí)，一起學(xué)習(xí)一下吧。

很久沒(méi)有分享一些基礎(chǔ)的理論知識(shí)相關(guān)的文章了。一方面這種文章大家閱讀意愿低，比較難和實(shí)踐結(jié)合，沒(méi)那么多合適的案例分享；另一方面也是不好寫(xiě)，各種數(shù)學(xué)公式和符號(hào)，電腦編輯起來(lái)真的是異常艱難。

所以寫(xiě)完了統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)的系列后，就遲遲沒(méi)動(dòng)筆寫(xiě)新的。不過(guò)對(duì)于我們數(shù)據(jù)從業(yè)人員來(lái)講，概率、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)、算法等相關(guān)的知識(shí)，還是要盡可能扎實(shí)掌握的。（統(tǒng)計(jì)學(xué)系列傳送：《統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)》、《抽樣分布》、《參數(shù)估計(jì)》、《區(qū)間估計(jì)》、《假設(shè)檢驗(yàn)》）

今天和大家嘮嘮概率論中很重要的基礎(chǔ)內(nèi)容：隨機(jī)變量的一些基礎(chǔ)概念，主要是離散型和連續(xù)型的區(qū)別，以及各自的分布函數(shù)。

一、隨機(jī)變量的基礎(chǔ)概念

先聊聊一些基礎(chǔ)的概念。

1. 隨機(jī)變量

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間上的實(shí)值單值函數(shù)，則稱X為隨機(jī)變量。一般以大寫(xiě)字母X，Y，Z等表示隨機(jī)變量。

關(guān)于定義，理解就好。

說(shuō)白了，我們就是把真實(shí)的隨機(jī)事件抽象出來(lái)，用隨機(jī)變量來(lái)表示，進(jìn)行數(shù)字化、抽象化，便于分析。

隨機(jī)變量分為兩類：離散型和非離散型。

離散型：若隨機(jī)變量X只能取到有限個(gè)或者可列個(gè)不同值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。比如抽一張紙牌，一共54張，把這個(gè)事件轉(zhuǎn)化成隨機(jī)變量，這個(gè)隨機(jī)變量的取值最多54個(gè)，是有限的。這就是離散型隨機(jī)變量。
非離散型：與離散型相對(duì)地，非離散型隨機(jī)變量指隨機(jī)變量有不可列個(gè)不同取值的隨機(jī)變量。比如人的身高，可以從0厘米到300厘米任取，是無(wú)限個(gè)取值，因此是非離散型的。
非離散型隨機(jī)變量中，有一類特殊的，也是我們主要關(guān)注的類型：連續(xù)型隨機(jī)變量。連續(xù)型和非離散型并不等同，這點(diǎn)需要注意。

2. 概率分布列與密度函數(shù)

對(duì)于離散型隨機(jī)變量而言，我們用概率分布列描述概率分布；而對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們用概率密度函數(shù)來(lái)描述。

以下是離散型隨機(jī)變量概率分布列的示意圖：

可以看出來(lái)，隨機(jī)變量X的有限可列個(gè)的，因此可以用上面的表格表示不同X取值時(shí)，具體的概率值。

連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)示意圖如下：

下面是常見(jiàn)的連續(xù)型函數(shù)的概率密度示意：

另外，關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)還有個(gè)性質(zhì)：

這告訴我們對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，其在任意單點(diǎn)處取值的概率為0。這點(diǎn)很重要。因此也可以得到推論：

即在端點(diǎn)上是否取到，不影響整體區(qū)間的概率。

最后，無(wú)論是概率分布列還是密度函數(shù)，概率之和（或者面積）都等于1。這是概率的基礎(chǔ)定義。

3. 分布函數(shù)

X是隨機(jī)變量，則函數(shù)F(x)=P(X<x)成為X的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。

對(duì)于離散型隨機(jī)變量，假設(shè)P(X=xk)=pk，則分布函數(shù)為：

此時(shí)分布函數(shù)為階梯函數(shù)且單調(diào)遞增。且函數(shù)值的跳躍發(fā)生在所有xk處，跳躍的幅度為pk。舉個(gè)例子，隨機(jī)變量X的概率分布列：

根據(jù)定義，可以推導(dǎo)出分布函數(shù)為：

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，假設(shè)密度函數(shù)為f(x)，則分布函數(shù)為不定積分：

與離散的情況類似地，分布函數(shù)仍舊具有單調(diào)遞增的性質(zhì)，因?yàn)閒(x)是概率，一定有f(x)>=0.給個(gè)正態(tài)分布的分布函數(shù)示例：

另外，還有性質(zhì)：

不再展開(kāi)贅述。

二、離散型隨機(jī)變量

下面介紹幾個(gè)常見(jiàn)常用的離散型隨機(jī)變量的一些特點(diǎn)。

1. 0-1分布:B(1,p)

定義：X的值為一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生與否（發(fā)生是1，不發(fā)生是0），這個(gè)事件發(fā)生的概率為p。則X服從參數(shù)為1，p的0-1分布，記作X~B(1,p)。其實(shí)就是伯努利分布。

概率分布：

這個(gè)比較簡(jiǎn)單，容易理解，不展開(kāi)了。本質(zhì)上是下面的二項(xiàng)分布的取n=1的情況。

2. 二項(xiàng)分布:B(n,p)

定義：X為n次獨(dú)立重復(fù)隨機(jī)事件中發(fā)生的事件數(shù)。這個(gè)事件每次發(fā)生的概率都是p。則X~B(n,p)

概率分布：

二項(xiàng)分布的不同參數(shù)下的分布函數(shù)如下：

3. 泊松分布:P(λ)

定義：X為某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，假設(shè)每次事件發(fā)生與否相互獨(dú)立，且平均事件發(fā)生λ次，則X~P(λ)

概率分布：

泊松分布不同參數(shù)下的分布函數(shù)如下：

這里重點(diǎn)關(guān)注泊松分布的平均發(fā)生次數(shù)（即期望值）=λ，而且后面我們將知道，泊松分布的方差也是λ。

4. 幾何分布:G(p)

定義：重復(fù)進(jìn)行隨機(jī)事件，直到事件發(fā)生為止才停下。X為首次發(fā)生時(shí)共做的事件的次數(shù)。每次發(fā)生的概率均為p，則X~G(p)

概率分布：

這里重點(diǎn)注意X的取值最小是從1開(kāi)始，而不是0，根據(jù)定義可以得出。

三、連續(xù)型隨機(jī)變量

第一部分的連續(xù)型隨機(jī)變量小圖，給出了很多連續(xù)型隨機(jī)變量的示意圖。下面我們針對(duì)幾個(gè)常見(jiàn)、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量，進(jìn)行詳細(xì)闡述。

1. 均勻分布:U(a,b)

定義：a<b，若密度函數(shù)滿足以下，則X~U(a,b)

容易理解地，均勻分布的密度在非零處均為常值，并且保證了在R上的積分是1。

分布函數(shù)為：

2. 指數(shù)分布:E(λ)

定義：λ>0，若密度函數(shù)滿足以下，則X~E(λ)

指數(shù)分布可以用來(lái)表示獨(dú)立隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)間間隔，比如旅客進(jìn)入機(jī)場(chǎng)的時(shí)間間隔、打進(jìn)客服中心電話的時(shí)間間隔、中文維基百科新條目出現(xiàn)的時(shí)間間隔等等。因此取值時(shí)大于0的。

分布函數(shù)為：

3. 正態(tài)分布:N(μ,σ2)

定義：σ>0，若密度函數(shù)滿足以下，則X~N(μ,σ2)

特別的，N(0,1)被稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，是我們最常用的分布之一。

這樣的做法的意義在于將求正態(tài)分布概率的過(guò)程統(tǒng)一化了。我們現(xiàn)在只需要能求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率即可求出所有不同正態(tài)分布的概率。

關(guān)于隨機(jī)變量，我們今天只能先介紹這些了，希望大家能有所收獲。

#專欄作家#

NK冬至，公眾號(hào)：首席數(shù)據(jù)科學(xué)家，人人都是產(chǎn)品經(jīng)理專欄作家。在金融領(lǐng)域、電商領(lǐng)域有豐富數(shù)據(jù)及產(chǎn)品經(jīng)驗(yàn)。擅長(zhǎng)數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)產(chǎn)品等相關(guān)內(nèi)容。

本文原創(chuàng)發(fā)布于人人都是產(chǎn)品經(jīng)理。未經(jīng)許可，禁止轉(zhuǎn)載。

題圖來(lái)自Unsplash，基于CC0協(xié)議。